对一道创新性题目的思考与探究

2019年,教育部出台了《中国高考评价体系》[1],提出了“一核、四层、四翼”的总体框架,其中:“一核”是高考的核心功能,即“立德树人、服务选才、引导教学”,回答“为什么考”的问题;“四层”为考查内容,即“核心价值、学科素养、关键能力、必备知识”,回答“考什么”的问题;“四翼”为考查要求,即“基础性、综合性、应用性、创新性”,回答“怎么考”的问题.文[2]指出,高考数学科的考试设计应关注探究能力、数学学习能力的考查,通过创新题型,对学生的创新能力进行考查;高考数学的试题情境可分为课程学习情境、探索创新情境、生活实践情境3 类,其中,探索创新情境包括推演数学命题、数学探究、数据分析、数学实验等问题情境,关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索.基于《中国高考评价体系》对试题在创新性方面的要求,在高考备考中,进行了大胆的探索和尝试,打破常规,命制一些新颖、灵活的题目,以期对学生有较好的引导作用.

文[3]在直线与圆的位置关系中,对开放性试题的形式、阅卷过程发现的问题做了研究.本文就直线与圆的位置关系、直线与圆锥曲线的位置关系,继续进行挖掘、探究.

典例 已知直线l:4x+3y+10=0,半径为2 的圆C与l 相切,圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方.

(I)求圆C 的方程;

(Ⅱ)过点M(1,0)的直线与圆C 交于A, B 两点(点A在x 轴上方),问在x 轴正半轴上是否存在定点N,使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出点N 的坐标;若不存在,请说明理由;

(Ⅲ)就本问题,请你尝试提出有意义的问题并解答.(请注意完整、清晰、简洁地叙述你所提的问题)

解析 (I)圆C 的方程:x2+y2=4.(过程从略)

第(Ⅱ)问是探索性问题,求解的关键是把几何问题代数化,即把条件“x 轴平分∠ANB”等价转化为“直线的斜率互为相反数”,然后借助方程思想求解.以下考虑(Ⅱ)的解答.

第(Ⅲ)问是创新题型,对学生的创新能力进行考查.通过开放性提问,由考生自己提出问题并解答,思路开放,现将探究过程整理如下:1.逆命题;2.改变点M 的位置;3.改变圆的半径的大小;4.变换圆锥曲线类型.解答如下:

问题1 (逆命题 )圆C 的方程:x2 + y2=4,过点M(1,0)的直线与圆C 交于A,B 两点(点A 在x 轴上方),x轴上存在点N(4,0),x 轴是否平分∠ANB?

简析 首先想到的是,交换条件和结论,命题还成立吗?由此可以提出逆命题.解决方法同典例第(Ⅱ)问,把问题“x轴平分∠ANB”等价转化为证明“直线的斜率互为相反数”,问题便迎刃而解.(过程从略)

除了提出逆命题,还可以通过改变题目条件提出有意义的问题.

问题2 (改变点M 的位置)圆C 的方程:x2+y2=4,直线l 与圆C 交于A, B 两点,与x 轴交于圆内点M(m,0)(m =0),问在x 轴上是否存在定点N(n,0),使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出m,n 的关系式;若不存在,请说明理由.

简析 该问题是在典例第(Ⅱ)问的基础上,按照从具体到一般的思路,提出此问题.类比典例第(Ⅱ)问的求解过程,得到:mn=4,所以当点时,x 轴平分∠ANB.反之亦然.

观察到mn=4=22,恰好为圆的半径的平方.那么问题来了,mn 是不是只与半径有关?可作进一步探究.

问题3 (改变圆的半径的大小)圆C 的方程:x2+y2=r2,直线l 与圆C 交于A, B 两点,与x 轴交于圆内点M(m,0)(m =0),问在x 轴上是否存在定点N(n,0),使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出m,n 的关系式;若不存在,请说明理由.

简析 该问题是在(Ⅲ)探究问题2 的基础上,将圆的半径一般化.通过求解,得到:mn=r2,所以当点时,x 轴平分∠ANB.反之亦然.

圆具有mn=r2 的性质,其他的圆锥曲线是否也具有类似性质?继续大胆猜想、探究、求证.

问题4-1 (变换圆锥曲线类型 )椭圆C 的方程:直线l 与椭圆C 交于A, B 两点,与x 轴交于椭圆内点M(m,0)(m =0),问在x 轴上是否存在定点N(n,0),使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出m,n 的关系式;若不存在,请说明理由.

简析 该问题是在(Ⅲ)问题3 的基础上,将圆的方程变换为椭圆方程,将曲线类型进行类比、拓展,这是一种常见的探究思路.设出直线方程,与椭圆方程联立,通过求解,得到:mn= a2,所以当点时,x 轴平分∠ANB.反之亦然.

椭圆同样具有mn 为定值,即mn= a2 的性质,如果将椭圆变换为双曲线、抛物线,mn 是否仍为定值?这将激发学生继续探究的动力.

问题4-2 (变换圆锥曲线类型 )双曲线C 的方程:直线l 与双曲线C 交于同支的A,B 两点,与x 轴交于点M(m,0)(m =0),问在x 轴上是否存在定点N(n,0),使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出m,n 的关系式;若不存在,请说明理由.

简析 通过求解,得到:mn=a2,所以当点时,x 轴平分∠ANB.反之亦然.

问题4-3 (变换圆锥曲线类型 )抛物线C 的方程:y2=2px(p>0),直线l 与抛物线C 交于A,B 两点,与x 轴交于抛物线内点M(m,0)(m =0),问在x 轴上是否存在定点N(n,0),使得x 轴平分∠ANB?若存在,请求出m,n 的关系式;若不存在,请说明理由.

简析 通过探究求解发现,mn 并不是定值,而是m+n为定值,即m+n=0,所以当点N( m,0)时,使得x 轴平分∠ANB.反之亦然.

“典例”的设计,契合了文[2]所指出的“高考数学科的考试设计应关注探究能力、数学学习能力的考查;关注与未来学习的关联和数学学科内部的更深入的探索.”通过探索创新情境的训练,有助于学生对数学学科内部更深入的探索、对数学的理解.

通过研究高考题发现,圆锥曲线的定值或定点问题是一种常见题型.

真题鉴赏:

1.(2013年高考陕西卷理科第20 题)已知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8.

(I)求动圆圆心的轨迹C 的方程;

(Ⅱ)已知点B( 1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P,Q,若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明直线l 过定点.

2.(2015年高考新课标I 卷理科第20 题)在直角坐标系xOy 中,曲线与直线y=kx+a(a>0)交于M,N 两点.

(I)当k=0 时,分别求C 在点M 和N 处的切线方程;

(Ⅱ)y 轴上是否存在点P,使得当k 变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.

3.(2018年高考新课标I 卷理科第19 题)设椭圆 的右焦点为F,过F 的直线l 与C 交于A,B 两点,点M 的坐标为(2,0).

(I)当l 与x 轴垂直时,求直线AM 的方程;

(Ⅱ)设O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.

以上呈现了3 道高考真题,从中不难发现,都与“典例”有着相同的渊源,只是以不同圆锥曲线为问题背景,考查数学抽象,逻辑推理,数学运算[4]等核心素养.有了探究结论,可以尝试自己命题:

变式 (根据2021年八省联考第21 题改编,仅供参考)双曲线C:的左顶点为A( 2,0),右焦点为F,点B 在C 上.当BF⊥AF 时,|AF|=|BF|.不垂直于x 轴的直线与双曲线同一支交于P,Q 两点.

(I)求双曲线C 的标准方程;

(Ⅱ)点N(1,0),总满足x 轴平分∠PNQ,证明:直线PQ过定点.

第(Ⅱ)问也可改为:“直线PQ 过点F,在x 轴上是否存在点N,使得x 轴平分∠PNQ?若存在,求出点N 的坐标;若不存在,说明理由.”(解答从略)

结束语 著名教育家波利亚(Polya)认为,中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”[5].创新性题目的出现,考查了考生对问题的思考、分析与探索.在高考备考中,通过设计创新题型,对学生的创新能力进行考查,使学生能更好地适应新高考的要求,能在《中国高考评价体系》要求下脱颖而出.学生具备一定的数学学习能力后,也能尝试自己命题,体验学习数学的乐趣,有效提高数学学科素养.