一道三元立方和最值问题的研究

三元立方和最值问题是数学高考和竞赛中比较常见的问题,但是绝大都数是限定在一个凸性一致的区间,比如利用琴生不等式来解决问题[1-2],对于不限定在一个凸性一致的区间的问题甚少有文章研究.本文主要研究《数学通报》的问题2530 的一般化,解决了三元立方和在一个非凸性一致区间的最大值问题.

问题 (《数学通报》2020年2 月号问题2530[3])已知a,b,c ∈[ 2,2],a+b+c=0,求a3+b3+c3 的最大值.

供题人张云华构造了一个函数(x 2)(x+1)2=x3 3x 2,作者利用这个函数恒不大于0,得到a3+b3+c3 ≤3(a+b+c)+6=6,最终指出a,b,c 中有1 个2 和2 个 1时取得最大值[3].我们注意到这种方法的局限性强,它只适合于a+b+c 的和为某些定值的情形,当我们将兴趣转到a+b+c 的和为变化的值时,这种方法将无法解决问题.下面我们用磨光变换法将原题推广到a+b+c=p( 6

引理1 对于任意a ≤ x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤b,x1 + x4= x2 + x3,若f(x)在[a,b]为下凸函数,均有f(x1)+ f(x4)≥f(x2)+ f(x3),等号成立当且仅当x1=x2=x3=x4.

本文研究了三元立方和在一个非凸性一致区间的最大值,研究过程可作为更多非凸性一致区间最值问题提供参考,结论也可改编成竞赛题.